DOĞAL SAYILAR
Doğal sayılar, $mathbb{N} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }$ şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.
SAYI DEĞERİ

Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.
1893 sayısının sayı değeri toplamı: 1+8+9+3=21'dir.

BASAMAK DEĞERİ

9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri

Birler basamağının basamak değeri : 1
Onlar basamağının basamak değeri : 10
Yüzler basamağının basamak değeri : 100
Binler basamağının basamak değeri : 1.000
On binler basamağının basamak değeri : 10.000
Yüz binler basamağının basamak değeri : 100.000
Milyonlar basamağının basamak değeri : 1.000.000
On milyonlar basamağının basamak değeri : 10.000.000
Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : 100.000.000

Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır.

Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur..

12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 X 1000 2000 şeklinde bulunur.
NOT:Bütün sayıların basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.
19831 sayısının basamak değerleri toplamı yine 19831'dir.

PEANO BELİTLERİ TANIMI

Peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır. Modern tanımlar bu tanımı sağlar.

Sıfır bir doğal sayıdır.
Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır.
Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur.
Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir.
Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir.

Sıfırı doğal sayı olarak kabul etmeyen grup, buradaki belitlerin "Bir, bir doğal sayıdır." olarak kabul eder.

ZFC TANIMI

Zermelo-Freankel küme kuramı) doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir. Buna göre her sayı temelde bir kümedir. Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, $n +$ , n $cup$ {n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur.

$0=emptyset$

$n^+ = n cup { n }$

Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur. Bu yinelgen tanımla sayılar,

0={}

1={0}

2={0,1}

3={0,1,2}

...

n+1={0,1,...,n}

Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öğe sayısına dayanır.

Russell'ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir:0 DOĞAL SAYIDIR

$0={emptyset}$ (sıfır, hiç öğesi olmayan tüm kümelerin kümesi)

$n^+ = { x cup { y } , | , x in n , text{ve} , y notin x }$ (n nin ardılı, öğe sayısı n olan tüm kümelerin kümesi)

Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor. Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir.
Büyüklük ve küçüklük ilişkileri [değiştir]

Doğal sayıların sıralanmasına en büyük basamaktan başlanır. Aynı basamakta büyük rakam bulunan sayı diğerinden büyüktür.

İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor. Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır. Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894.125.067 > 887.954.700 yazılır. “ 894.125.067 büyüktür 887.954.700 şeklinde okunur.”

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Doğal Sayılar Kümesinde; iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olur.

DOĞAL SAYILARDA İŞLEMLER

Doğal sayılar toplama ve çarpma işlemine göre kapalıdırlar. İki doğal sayının çarpımı veya toplamı yine bir doğal sayıdır. Örneğin : 3.5=15 , 7.9=63 İki doğal sayının farkı veya bölümü bir doğal sayı olmayabilir bu nedenle doğal sayılar çıkarma ve bölme işlemine göre kapalı değildir. Örn: 9-12 = -3 , 2/4 = 1/2 gibi.

TOPLAMA İŞLEMİ

Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır.

Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

Toplamsal birim öğe:

a + 0 = a

Toplamanın değişme özelliği:

a + b = b + a

Toplamanın birleşme özelliği:

(a + b) + c = a + (b + c)

Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):

(a + b)c = ac + bc

Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse $A r d (n)$ gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

$a + 0 = a$
$a + A r d (b) = A r d (a + b)$

Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0 seçilirse

a + A r d (0) = a r d (a + 0)

sıfırın adrılı birdir, o halde,

A r d (a) = a + 1

olduğu kolaylıkla görülür.

ÇARPMA İŞLEMİ

Çarpma işlemi ard arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir.

Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

Çarpımsal birim öğe:

a1 = a

Çarpmanın değişme özelliği:

ab = ba

Çarpmanın birleşme özelliği:

(ab)c = a(bc)

Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):

c(a + b) = ca + cb

Çarpma işleminde yutan eleman:

a.0=0

Bir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse $A r d (n)$ gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, çarpma aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

$a 1 = a$
$a , Ard(b) = ab + a$

TEK VE ÇİFT DOĞAL SAYILAR

ÇİFT DOĞAL SAYILAR
Birler basamağında;0,2,4,6,8 rakamları bulunan doğal sayılardan oluşan kümeye çift sayılar kümesi denir.Çift sayılar kümesi;

Ç:{0,2,4,6,8,10,12,...}'dır.

Bu kümenin elemanları çift sayılardır.

TEK DOĞAL SAYILAR
Çift olmayan doğal sayılara, yani birler basamağında ; 1,3,5,7,9 rakamları olan sayılara tek sayı ; bu sayılardan oluşan kümeye de tek sayılar kümesi denir.Tek sayılar kümesi;

T={1,3,5,7,9,11,...}

Bu kümenin elemanları tek sayılardır.

A={10,21,22,33,34,45,46,57,58,69} kümesinin elemanı olan sayılardan hangileri tek sayı,hangileri çift sayıdır?Söyleyelim ve yazalım:

10,22,34,46,58 sayıları çift sayılardır.

21,33,45,57,69 sayıları tek sayılardır.

TEK VE ÇİFT DOĞAL SAYILARDA İŞLEMLER
T=Tek sayı Ç=Çift sayı

TOPLAMA

T+T=Ç
T+Ç=T
Ç+Ç=Ç
Ç+T=T

ÇIKARMA
T-T=Ç
T-Ç=T
Ç-Ç=Ç
Ç-T=T

ÇARPMA
T.T=T
T.Ç=Ç
Ç.Ç=Ç
Ç.T=Ç

BÖLME
Ç/T=Ç
T/T=T
Ç/Ç=Bazen T bazen Ç

              RAKAM
Sayıyı oluşturan her basamaktaki sembollere rakam denir. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 olmak üzere 10 adet rakam vardır.Bütün rakamların toplamı 45, bütün rakamların çarpımı 0'dır.

     5934 sayısını oluşturan rakamlar 5,9,3,4'tür.Bu sayının sayı değerleri de rakamlarının toplamıdır.
           Romen Rakamları Çevirisi

SAYMA SAYILARI
1'den sonsuza kadar olan sayılara sayma sayıları denir.Sayma sayıları başka bir deyişle pozitif tam veya doğal sayılar olarak da adlandırılır.Sayma sayıları $mathbb{N}^+ = left{ 1, 2, 3, ... right}$ şeklinde tanımlıdır.

Sayma sayılarının birbiriyle toplamı veya çarpımı her zaman sayma sayısıdır.
     Deste ve Düzine Kavramları
Deste 10, düzine 12 sayısını belirtir.Veya deste 10, düzine 12 adet anlamında da kullanılır.Pek çok olarak 10 veya 12 adet değilde deste ve düzine kavramları kullanılır.12 düzineye de gross denir.